Bentuk akar, pangkat dan Logaritma

Bentuk Akar, Pangkat, dan Logaritma A. Bilangan Pangkat 1. Pangkat Bulat Positif Yaitu apabila n adalah sebuah bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a^n didefinisikan sebagai perkalian n faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, a^n=a×a×a×a×∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙×a,dan a^1=a Sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif a. Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dan a∈R, [a^{m}.a^{n}=a^{m+n}] b. Jika a∈R(a≠0) dan m dan n adalah bilangan bulat positif, maka: [\frac{a^{n}}{a^{m}}=] [a^{m-n}] jika m > n, [\frac{1}{a^{m-n}}] jika m < n, 1 jika m = n c. Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dan a∈R, maka [\left ( a^{m} \right )^{n}= a^{mn}] d. Jika n adalah bilangan bulat positif dan a,b∈R, maka [\left ( ab \right )^{n}= a^{n}b^{n}] e. Jika n adalah bilangan bulat positif dan a,b∈R, maka [\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}] 2. Pangkat Bulat Negatif dan nol a. Pangkat Bulat Negatif Untuk setiap bilangan real dan bilangan rasional n, berlaku [a^{-n}= \frac{1}{a^{n}},a\neq 0] b. Pangkat Nol Untuk setiap a bilangan real, dan ≠0 , maka berlaku [a^{0}= 1] B. Bentuk Akar 1. Pengertian Bentuk Akar √a adalah bilangan non negatif sedemikian sehingga √a×√a=a Catatan: a. Jika a≥0, maka √a terdefinisi b. Jika a<0,, maka √a tidak terdefinisi c. √a tidak pernah negatif, √a≥0 2. Menyederhanakan Bentuk Akar Bentuk akar √a dapat disederhanakan jika a dapat dinyatakan dengan faktor-faktor yang memuat bilangan kuadrat sempurna. Untuk menyederhanakan bentuk akar digunakan sifat: [\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}=\sqrt{ab}] Bukti: [\left ( \sqrt{a} \right \sqrt{b})^{2}=\left (\sqrt{a} \right \sqrt{b})(\sqrt{a} \right \sqrt{b})] [=\sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{b}] [=a\times b] [\sqrt{a}\times \sqrt{b}= \sqrt{a}\times \sqrt{b}] [=\sqrt{ab}] terbukti C. Merasionalkan Bentuk Akar dan Pangkat 1. Bentuk [\frac{a}{\sqrt{b}}] Bentuk akar [\frac{a}{\sqrt{b}}] dengan b≠0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan dengan √b sehingga: [\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}= \frac{a}{b}\sqrt{b}] 2. Pecahan Bentuk [\frac{a}{b+\sqrt{c}}] Untuk menyederhanakan bentuk pecahan [\frac{a}{b+\sqrt{c}}] dan [\frac{a}{b-\sqrt{c}}] adalah dengan mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk sekawan dari [\frac{a}{b+\sqrt{c}}] adalah [\frac{a}{b-\sqrt{c}}] . Sebaliknya, bentuk sekawan dari [\frac{a}{b-\sqrt{c}}] adalah [\frac{a}{b+\sqrt{c}}] sehingga: [\frac{a}{b+\sqrt{c}}=\frac{a}{b+\sqrt{c}}\times \frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}}=a\frac{\left ( b- \right \sqrt{c} )}{b^{2}-c}] [\frac{a}{b-\sqrt{c}}=\frac{a}{b-\sqrt{c}}\times \frac{b+\sqrt{c}}{b+\sqrt{c}}=a\frac{\left ( b+ \right \sqrt{c} )}{b^{2}-c}] 3. Pecahan Bentuk [\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}] Dan untuk menyederhanakan penyebut dari bentuk pecahan atau [\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}] yaitu dengan car mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari [\sqrt{b}+\sqrt{c}] adalah [\sqrt{b}-\sqrt{c}] . sebaliknya [\sqrt{b}-\sqrt{c}] adalah [\sqrt{b}+\sqrt{c}] sehingga: [\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\times \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a\left ( \sqrt{b}+ \right\sqrt{c} )}{b-c}] [\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a\left ( \sqrt{b}- \right\sqrt{c} )}{b-c}] 4. Menyederhanakan bentuk akar [\sqrt{\left ( a+ \rightb )-2\sqrt{a.b}}] Bentuk [\sqrt{\left ( a+ \rightb )-2\sqrt{a.b}}] dapat diubah menjadi bentuk [\left ( \sqrt{a}\pm \right \sqrt{b})] dengan syarat a,b∈R dana>b. Bukti: [\left ( \sqrt{a}\pm \right \sqrt{b})^{2}= a\pm 2\sqrt{a}.\sqrt{b}+ b] [=\left ( a+ \right b)\pm 2\sqrt{ab}] [\sqrt{a}\pm \sqrt{b}=\sqrt{\left ( a +\rightb )\pm 2\sqrt{ab}}] jadi [\sqrt{\left ( a +\right b )\pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}\pm \sqrt{b}] D. Logaritma 1. Sifat-Sifat Logaritma a. Sifat 1 Untuk a>0,a≠1 berlaku: [^{a}log a=1,^{a}log1=0,log10=1] Bukti: 1) Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, [a^{1}=a\Leftrightarrow ^{a}loga=1] 2) Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, [a^{0}=1\Leftrightarrow ^{a}log1=0] 3) Log 10 adalah suatu logaritma dengan basis dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1 b. Sifat 2 Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku: [^{a}logx+^{a}logy=^{a}logxy] Bukti: [^{a}logx=n\Leftrightarrow a^{n}=x] [^{a}logy=m\Leftrightarrow a^{m}=y] [^{a}logxy=p\Leftrightarrow a^{p}=xy] Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh: [xy=a^{n}a^{m}\Leftrightarrow xy=a^{m+n}] [a^{p}=a^{n+m}\Leftrightarrow p=n+m] Maka: [n=^{a}logx, m^{a}logy dan p=^{a}logxy] sehingga [^{a}logx+^{a}logy=^{a}logxy] c. Sifat 3 Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku: [^{a}logx-^{a}logy=^{a}log\frac{x}{y}] d. Sifat 4 Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku: [^{a}logx^{n}=n^{a}logx] e. Sifat 5 Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku: [^{a^{n}}logx^{n}=\frac{n}{m}^{a}logx] f. Sifat 6 Untuk a,p>0,dan a ,p≠1 serta a,p,dan x∈R berlaku [^{a}logp=\frac{^{p}logx}{^{p}logx}=\frac{1}{^{x}loga}] g. Sifat 7 Untuk a>0,x>0,y>0,a,x,dan y ∈R berlaku: [^{a}logx.^{x}logy=^{a}logy] h. Sifat 8 Untuk a>0,serta a dan x∈R, berlaku: [a^{^{a}logx}] i. Sifat 9 Untuk a>0,serta a dan x∈R berlaku: [a^{n^{a}logx}=x^{n}]